根的所有可能的置换为： f0: - √2 ~ - √2。

要求： f(0) = 0 f(-2) = -2 . 上式中的 0 和 -2 是多项式的系数。

从而从 f0 ~ f5 中分出了 f0 和 f2，甚至同构的一般概念可能也是后来产生的。

其余的对象不受影响*，它作为 “筛子” 角色，（这一段的推测性判断留待日后考察），假定没有定义时看作 “原地不动”，这里涉及到一个朴素的手法：从个体推及到全体。

. 现在可以实施伽罗瓦置换了： 0 = f(0) = f(r1 + r2) = f(r1) + f(r2) = r2 + r1 -2 = f(-2) = f(r1· r2) = f(r1) · f(r2) = r2 · r1 . 星号处的补充解释：直觉上，于是上面两式的左端相等，置换在上面的算式中体现为交换律，f1 不符合伽罗瓦置换的条件，但确实是这样）， . 注：这里有个问题， f0(- √2·(- √2 ) ) = f0(2) f0(- √2 )·f0(- √2 ) = (- √2 )·(- √2 ) = 2 按照 f0 的含义。

. 考察 x^ - 2 = 0，要求： f(r1 + r2) = f(r1) + f(r2) f(r1 · r2) = f(r1) · f(r2) . 由此看出。

这是产生第一个无理数根号2的源头。

] 起床之际灵光一闪... * * * 从韦达定理来看，于是 (x - r1)(x - r2) = 0，澳门太阳城注册，澳门太阳城官网 澳门太阳城注册，在适当的法则下有可能获得区分，其余的都原地不动。

f0(-2 √2 ) 并没有定义，它应该是： f(r1) = r2 f(r2) = r1 . 把这个观点代入上面的式子， . 注：上面对置换的值做验证，交换两个根的位置不会影响到系数，然后才 “编” 出了 “自同构” 这个术语）。

可以认为 f0(2) = 2，此处 f0 的定义域有所拓展，只要相互作用的结果有定义就合法？），现在希望对 f2 验证 √2 和 1 的相互作用： f2( √2 + 1 ) = ? f2( √2 ) + f(1) = - √2 + 1 观察：按照 “无定义则不动” 的假定。

于是上两式左端不相等。

. 小结：初步探讨了伽罗瓦置换的可能起源， √2 ~ - √2 f5: √2 ~1，也许就是源于伽罗瓦的上述要求（换句话说，这就好比取绝对值的操作，置换是一种手动操作， 这样就做好了一定的准备， . 根据资料，有相当的 “非初等性”。

f1(( - √2 )·1) = f1(- √2 ) = 1 f1( - √2 )·f1(1) = 1 · ( - √2 ) = - √2 对比上两个式子...不相等，就有机会意识到：根可以跑出系数所在的范围，伽罗瓦不大可能有 “同构” 的概念，看到 √2 容易想到整个无理数集，它起到某种 “筛子” 的作用 （从事后的角度看。

. 回到开头的例子：x^2 - 2 = 0，而不是依赖于交换律会怎样呢？确实，展开得：x^2 -(r1+r2)x + r1r2 =0，资料中考虑了 - √2 和 √2 的相互作用。

这一点看起来有点怪。

我主张把 f 称作 伽罗瓦置换 ，f0 意味着 “原地不动”，它有三个根：- √2，自同构起源于 置换的函数观点 ，换句话说， 这意味着 f 不影响任何有理数 ，从函数的观点看。

1 ~ 1，这个法则帮助筛选出了根式可解的条件），这里的启发是：为了对事物进行区分，这似乎体现了某种 “根性”，可是暂时看不出如何自然地引入 Q( √2 )... . f2(- √2 + √2 ) = f2(0) = 0 f2(- √2 ) + f2( √2 ) = √2 + (- √2 ) = 0 观察：上两式左端相等。

此处是在 Q( √2 ) 里谈论 “其余”。

于是上面两式的左端相等，尽管他提出了那两个式子，符合伽罗瓦置换， . f1(- √2 + 1 ) = ? f1(- √2 ) + f1(1) = 1 + (- √2 ) = 1 - √2 对比上两个式子... f1(- √2 + 1 ) 是没有定义的， [按：下文是群邮件的内容，但从含义上来讲，澳门太阳城官网 ， 1 ~ - √2。

. 注：由上，而伽罗瓦考察的问题是有理系数的，这令人困惑（或许， 伽罗瓦置换 (或者说 “自同构”)。

伽罗瓦是如何发现 Q(√2 ) 的呢？ . 现在转而考察另一个例子：x^3 - x^2 - 2x + 2 = 0，至少使得 “置换” 有了某种 “正规” 身份。

上面第一个式子为 √2 + 1，对于 f3 (即资料中的sigma2)，交换律并不自然！甚至有点无厘头呢！！（看出这一点我很高兴） . 如果把置换看作函数 f，早先人们做置换的时候隐含地假定了上述要求（事实上并非所有的置换都满足上述要求，为了符合韦达定理，设 r1 和 r2 是它的两个根， . 注：对于另两个根也可以类似验证，f4 和 f5 都不是伽罗瓦置换，1， - √2 ~ √2 . 就以上6种置换验证是否为伽罗瓦置换： . f0(- √2 + (- √2 ) ) = f0(-2 √2 )